Алгебра 9-10 класс 1968 Виленкин – для школ с углубленным изучением математики – class.od.ua – учебники бесплатно.djvu
ПРЕДИСЛОВИЕ ДЛЯ УЧИТЕЛЯ
Предлагаемая вниманию читателя книга является учебным Пособием по курсу алгебры для IХ и Х классов школ с математической специализацией. Это определило как ее содержание, так и характер изложения материала. Сейчас многие вопросы излагаются в обычном курсе алгебры средней школы на недостаточном теоретическом уровне. Теория играет подчиненную роль, зачастую рассматривается лишь как аппарат для решения задач. Такое изложение недопустимо в школах с математической специализацией, одной из важных задач которых является воспитание математического мышления, умения отличить наводящие соображения от точного
результата, умения все время контролировать правомерность выполняемых операций. Исходя из этого, в данной книге многие теоретические вопросы изложены весьма подробно. В книге много внимания уделено определению понятий уравнения и тождества, неравенства, степени с рациональным показателем, комплексного числа. Часто встречаются непривычные для школьного учебника aлгебры слова теорема, доказательство. Так, например, явно сформулированы теоремы, на основании которых решаются уравнения, неравенства и системы уравнений и неравенств. Вообще теоретический материал занимает больше места, чем в обычных школьных учебниках алгебры. Мы надеемся, что это будет способствовать не только повышению математической культуры учащихся, но и поможет им лучше ориентироваться в решении сложных и “казусных” задач (например, в решении иррациональных уравнений, для которых обычный метод уединения радикала приводит к тождеству).
Естественно, что такой стиль изложения потребовал укрепления фундамента. Всю книгу пронизывают теоретико-множественные понятия; читатель имеет дело с множеством решений уравнения, неравенства и т. д. Краткое изложение основных понятий теории множеств дано в начале книги. Изучение тождественных преобразований связано с понятиями числового кольца и поля, кольца многочленов. Однако общая теория колец и полей, а также такие понятия общей алгебры, как изоморфизм, алгебраическая операция и т. д., остались за рамками книги.
В книгу включены многие вопросы, обычно не входящие в традиционный школьный курс алгебры отыскание целых корней многочленов, теория систем линейных уравнений со многими неизвестными, графическое решение систем уравнений высших степеней,
элементы теории симметрических многочленов, цепные дроби, комбинаторика и теория вероятностей. При изложении этих вопросов авторы стремились к максимальной простоте изложения, все время указывая на связи с вопросами обычного курса школьной алгебры.
Некоторые вошедшие в книгу вопросы связаны с вычислительной математикой, однако теоретические основы этого курса авторы изложили в другом пособии, тесно связанном с данным и посвященном математическому анализу.
Разумеется, повышение теоретического уровня изложения не должно было отразиться на качестве навыков учащихся в решении уравнений и неравенств, в тождественных преобразованиях иррациональных выражений и т. д. Поэтому наряду с теоретическим материалом значительное внимание было уделено методам решения задач. При этом, помимо методов, даваемых в большинстве учебников, мы изложили и такие вопросы, как решение возвратных уравнений, систем однородных уравнений, иррациональных неравенств, применение неравенств к решению задач на экстремум. Рассказано о применении теории симметрических многочленов к решению систем уравнений и иррациональных уравнений. Каждый параграф снабжен задачами для самостоятельной работы. Мы надеемся, что это сделает книгу полезной для тех, кто хочет подготовится к экзаменам в вузы, где предъявляются повышенные требования к математической подготовке поступающих.
Мы уже говорили, что эта книга в первую очередь предназначена для учащихся школ с математической специализацией (и в особенности школ, выпускающих программистов, при написании книги мы руководствовались программой этих школ). Но ее можно использовать и как учебный материал для техникумов, готовящих программистов-вычислителей, а отдельные главы и параграфы для дополнительных и факультативных занятий с группами учащихся обычной средней школы, серьезно интересующихся математикой.
Книга (или ее отдельные главы) может оказаться полезной и для самостоятельной работы школьников, математические интересы которых выходят за рамки обычного школьного курса. Мы надеемся, наконец, что книга заинтересует и студентов педагогических институтов, так как наглядно показывает связь изучаемых теоретических вопросов с школьной алгеброй.
Надо иметь в виду, что книга написана «в нескольких Планах», чтобы ею могли пользоваться читатели с разным уровнем математической подготовки. Поэтому наряду с необходимым материалом, напечатанным обычным шрифтом, книга содержит избыточный материал. Этот материал помещен в параграфах и пунктах, отмеченных звездочкой или набранных петитом. Он может быть пройден или опущен в зависимости от уровня математических знаний учеников, их способностей и времени, имеющегося у учителя для прохождения курса. Если какие-нибудь части курса опускаются, целесообразно обратить на них внимание наиболее сильных учеников и посоветовать им изучить их самостоятельно.
Точно так же, кроме более или менее обычных задач, в книгу включены задачи повышенной трудности, приближающиеся к олимпиадному уровню. Поэтому не имеет смысла решать все задачи походу изучения курса; часть задач лучше оставить на период повторения в расчете на повышение к тому времени математической подготовки учащихся и развитие у них навыков решения задач.
Конечно, все сказанное не исключает использования задач из других учебников и задачников.
Некоторые вопросы, обычно относимые к школьному курсу алгебры (прогрессии, метод математической индукции, понятие действительного числа, общая степенная, показательная и логарифмическая функции), не вошли в книгу. Они наряду с теорией пределов, дифференциальным и интегральным исчислением, теорией рядов и некоторыми другими вопросами изложены в другом пособии, написанном тем же коллективом авторов и согласованном с данным, в книге «Математический анализ».
Весь материал книги прошел экспериментальную проверку в московской школе № 444. После этой проверки в текст были внесены многочисленные изменения.
Работа авторов над книгой распределилась следующим образом. Н. Я. Виленкин написал введение и главы I, II, III. Крометого, он принял участие в написании главы IУ (совместно с с. и. Шварцбурдом) и У (совместно с В. Г. Ашкинузе). Ему принадлежит также общее научное руководство изданием. Р. С. Гутер написал главу УII (при редакционном участии Н. Я. Виленкина) и (совместно с Б. В. Овчинским) главу УIII, а также принял участие в редактировании книги. С. И. Шварцбурд написал главу VT (при редакционном участии Н. Я. Виленкина) и принял участие в написании главы IV. Ему же принадлежит разработка содержания курса, подбор задач, проведение всей экспериментальной работы по книге и общее организационное руководство изданием; С. И. Шварцбурд участвовал также в обсуждении и выработке окончательного текста глав I—УТ. В. В. Ончинский написал совместно с р. с. Гутером главу VIII, а В. Г. Ашкинузе принял участие в написании главы V.
В процессе редактирования и подготовки рукописи к печати были учтены многочисленные советы и предложения Ю. А. Гастева; авторы приносят ему глубокую благодарность. Авторы выражают так же признательность рецензентам книги М. И. Граеву и К. В. Темко, критика которых значительно повлияла на окончательный текст книги.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
1. Множества (10). 2. Числовые множества (11). 3. Пустое множество (12). 4. Подмножество (13). 5. Пересечение множеств (14). 6. Сложение множеств (15). 7. Разбиение множеств (17). 8. Вычитание множеств (17). 9. Отображение множеств (18). 10. Краткие историческиесведения (19).
Многочлены от одного переменного
§ 1. Тождественные преобразования мноточленов (21). 1. Основные законы алгебры (21). 2. Целые рациональные выражения и функции (22).
3. Степень с натуральным показателем и ее свойства (24). 4. Многочлены (27). 5. Умножение многочленов (29). 6. Числовые кольца и поля(32). 7. Кольцо мноточленов над данным числовым полем (34). 8. Виномньютона (34).
§ 2. деление многочленов. Корни многочленов (37). 1. Делениемногочленов (37). 2. Теорема Везу. Схема Горнера (41). 3. Корни многочлена (43). 4. Интерполяпионные формулы (44). 5. Кратные корни(46). 6. Многочлены второй степени (46). 7. Многочлены с целыми коэффициентами (48). 8. Краткие исторические сведения (50).
Глава II. Алгебраические уравнения и неравенства.
4 1. Общая теория уравнений (53). 1. Тождества (53). 2. Область допустимых значений (54). 3. Уравнения (54). 4. Совокупности уравнений (57). 5. Преобразования уравнений (59). 6. Теоремы о равносильности уравнений (60).§ 2. Уравнения с одним неизвестным (64). 1. Алгебраические уравнения с одним неизвестным (64). 2. Метод разложения на множители (65). 3. Метод введения нового неизвестного (68). 4. Виквадратные уравнения (70). 5. Возвратные уравнения 3-й и 4-й степеней (71).
§ 3. Функциональные неравенства (74). 1. Следствия из неравенств(75). 2. Равносильные неравенства (76). 3. Доказательство неравенств(78). 4. Линейные неравенства (80). 5. Решение неравенств второй степени (82). 6. Решение алгебраических неравенств высших степеней (86).
7. Краткие исторические сведения (90).
Глава /1/. Обобщение понятия степени. Иррациональные выражения
§ 1. Степени с целым показателем (91). 1. Обобщение понятия степени (91). 2. Степень с нулевым показателем (93). 3. Степень с целым отрицательным показателем (93).
§ 2. Корни. Степени с рациональными показателями (95). 1. Понятие корня (95). 2. Степени с рациональными показателями (96). 3. Свойства степеней с рациональными показателями (99).
§ 3. Иррациональные алгебраические выражения (101). 1. Рациональные и иррациональные алгебраические выражения (101). 2. Одночленные иррациональные выражения (101). 3. Сокращение показателей
н приведение корней к общему показателю (103). 4. Извлечеяие корня из произведения и степени (104). 5. Вынесение алгебраических выражений из-под корня и внесение их под корень (105). 6. Возведение корняв степень (106). 7. Извлечение корня из корня (107). 8. Подобные кор
ни (107). 9. Сложение и вычитание корней (108). IC. Уничтожение иррациональности в знаменателе или в числителе_алгебраической дроби (108).
11. Преобразование выражений вида
‘4 tУГ (110). 12. Смешанные задачи на преобразование иррациональных выражений (112).
§ 4. Иррациональные уравнения и неравенства (114). 1. Определение (114). 2. Сведёние иррациональных уравнений к рациональным(115). 3. Уединение радикала (116). 4. Введение нового неизвестного
(118). 5. Особые случаи решения иррациональных уравнений (119).6. Иррациональные неравенства (122). 7. Краткие исторические сведения (124).
У
Глава IУ.
Многочлены от нескольких переменных. Системы уравненийи неравенств
125
§ 1. Системы алгебраических уравнений (125). 1. Целые рациональные функции от нескольких переменных (125). 2. Системы уравнений(126). 3. Геометрический смысл решений уравнений и систем уравнений
с двумя неизвестными (127). 4. Совокупность уравнений (128). 5. Равноси.льные системы уравнений (131). 6. Метод подстановки (133). 7. Методалгебраического сложения уравнений (137). 8. Метод введения новых
неизвестных (141). 9. Системы однородных уравнений (142). 10. Геометрическая интерпретация решения систем двух уравнений с двумя неизвестными (145).
§ 2. Системы линейных уравнений (153). 1. Введение (153). 2. Теоремы о равносильности систем линейных уравнений (154). 3. Пример решения системы линейных уравнений методом Гаусса (155). 4. Метод Гаусса
(156). 5. Решение обобщенно-треугольной системы линейных уравнений(159). 6. Системы однородных линейных уравнений (161). 7. Дополнительные задачи на системы линейных уравнений (163).
§ 3. Симметрические многочлены и их приложения к решению систем уравнений (164). 1. Симметрические многочлены от двух переменных (164). 2. Выражение степенных сумм через си и С12 (165). 3. Основная теорема о симметрических многочленах от двух переменных (167).
4. Системы симметрических алгебраических уравнений (168). 5. Применение симметрических многочленов к решению иррациональных уравнений (170).
§ 4. Неравенства с многими переменными (171). 1. Среднее арнфметическое и среднее геометрическое двух чисел (172). 2. Среднее арифметическое и среднее геометрическое трех чисел (173). 3. Неравенство Коши
(двумерный вариант) (174). 4. Задачи на наибольшие и наименьшие значения (178).
§ 5. Решение неравенств (183). 1. Общие замечания (183). 2. Неравенства с двумя nеременными (184). 3. Задание областей неравенствами и системами неравенств (186). 4. Понятие о линейном программировании
(191). 5. Краткие исторические сведения (195).
Глава V. Комплексные числа
4 1. Комплексные числа в алтебраической форме (197). 1. Развитие понятия о числе (197). 2. Комплексные числа (199). 3. Сложение комплексных чисел; умножение на действительные числа (200). 4. Умножение комплексных чисел (201). 5. Квадратные уравнения с действительными коэффициентами (202). 6. деление комплексных чисел (203). 7. Сопряженныекомплексные числа (205). 8. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел (207).
§ 2. Тригонометрическая форма комплексных чисел (209). 1. Геометрическое изображение комплексных чисел (209). 2. Полярная система координат (210). 3. Тригонометрическая форма комплексного числа (212).
4. Умножение и деление комплексных чисел в тригонометрической форме(216). 5. Возведение комплексных чисел в степень. Формула Муавра(218). 6. Извлечение корня из комплексного числа (220). 7. Функции комплексного переменного и преобразования комплексной плоскости (224).
§ 3. Некоторые виды алгебраических уравнений (228). 1. Комплексные корни алгебраических уравнений (228). 2. двучленные уравнения(229). 3. Корни из единицы и построение правильных многоугольников
(232). 4. Трехчленные уравнения (233).
§ 4. Основная теорема алгебры мноточленов и ее следствия (234).
1. Основная теорема алгебры мноточленов (234). 2. Многочлены с действительными коэффициентами (236). 3. Разложение на множители многочленов с действительными коэффициентами (237). 4. Краткие исторические сведения (238).
Глава
Vi.
Цепные дроби
§ 1. Конечные цепные дроби (240). 1. Алгоритм Евклида (240).
2. Пример цепной дроби (241). 3. Определение цепной дроби (243).
4. Представление рациональных чисел в виде конечной цепной дроби (245).
5. Подходящие дроби (249). 6. Свойства подходящих дробей (253). 7. диофантовы уравнения первой степени (255). 8. Подходящие дроби и календарь (256). 9. Приближение цепной дроби подходящими дробями (257).
§ 2. Бесконечные цепные дроби (261). 1. Разложение иррациональных чисел в цепные дроби (261). 2. Подходящие дроби и наилучшие приближения иррациональных чисел рациональными (264). 3. Цепные дроби
как вычислительный инструмент (265). 4. Краткие исторические сведения (267).
Глава Vii. Комбинаторика
Комбинаторные задачи (268).
Комбинаторные задачи. Продолжение (272).
Определения и формулы (277).
Соединения с повторениями (286).
Комбинаторные задачи. Окончание (293)’
Вином Ньютона и его обобщения (299).
Краткие исторические сведения (304).
Viii.
Элементы теории вероятностей
§ 1. Событие и вероятность (308).
§ 2. Сложные вероятности. Теоремы сложения и умножения вероятности (312).
§ 3. Примеры вычисления вероятностей (321).
§ 4. Полная вероятность. Формула Вейеса (325).
§ 5. Повторение испытаний (329).
§ 6. Примеры вычисления вероятностей. Окончание (332).
§ 7. Краткие исторические сведения (336).